Cas particulier des fonctions affines

Propriété

Le plan est muni d'un repère orthogonal.
Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
Soit \(f\) une fonction affine définie sur l'intervalle \([a~;b]\), telle que, pour tout réel \(x\) de \([a~;b]\), \(f(x)\geqslant 0\).  Alors \(\displaystyle \boxed{\int_a^b f(x)\;\text d x = \dfrac{(f(a)+f(b))(b-a)}{2}}\).
La figure suivante illustre la situation ; on reconnaît la formule de l'aire d'un trapèze rectangle de bases \(f(a)\) et \(f(b)\) et hauteur \((b-a)\).

Exemple 
On considère la fonction affine \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\dfrac{1}{2}x+3\). 
La fonction \(f\) est bien une fonction positive sur l'intervalle \(\left[-1~;~6\right]\). 
On cherche à calculer\(\displaystyle \int_{-1}^6 f(x)\ \text dx\).

La figure suivante illustre la situation.

On utilise la formule de l'aire du trapèze rectangle, de bases de longueurs \(f(-1)\) et \(f(6)\) et hauteur \(b-a=7\).

• \(f(-1)=\dfrac{1}{2}\times(-1)+3=-\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{5}{2}\).
• \(f(6)=\dfrac{1}{2}\times6+3=3+3=6\).
  

Finalement :
\(\displaystyle \int_{-1}^6 f(x)\ \text dx=\dfrac{(\dfrac{5}{2}+6)\times7}{2}=\dfrac{\dfrac{17}{2}\times7}{2}=\dfrac{119}{4}\). 

Et donc l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de \(f\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=-1\) et \(x=6\) vaut \(\dfrac{119}{4}\) u.a.